已知0<α<π

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 00:55:56
已知0<α<π
1)求证：2sin2α<=cotα/2
2)当α为何值时,(1)中的等号成立

首先有公式：cos2x=2cos²x-1=>cos²x=(1+cos2x)/2
cos2x=1-2sin²x=>sin²x=(1-cos2x)/2
cot²(a/2)=cos²(a/2)/sin²(a/2)=cos²(a/2)/sin²(a/2)=(1+cosa)/(1-cosa)
左边=4sinacosa,平方得16sin²acos²a=16(1-cos²a)cos²a=16(1-cosa)(1+cosa)cos²a
故只需证16(1-cosa)(1+cosa)cos²a<=(1+cosa)/(1-cosa)即可
约分即得：16(1-cosa)²cos²a<=1
设cosa=x，则原式化为16(1-x)²x²<=1
又(1-x)x<={[(1-x)+x]/2}²=1/4,故(1-x)²x²<=1/16
所以16(1-x)²x²<=1,得证，当1-x=x即x=1/2时等号成立，此时a=60°